Matematiikka

[Lasse Candé]

Olen tainnut mainita täällä ennenkin, mutta gradussani reilu puoli vuotta noiden yllä olevien kirjoitusten jälkeen, pääsin käsittelemään samaa aihetta.

Mulla tuli kiire, kun syksyllä 2020 oli vain yksi opetukseton päivä viikossa (oli sellainen järjestely) ja valmistumisen deadline oli 18.12.2020. Gradusta tuli aihekokoelmana, kokonaisuutena ja joidenkin käsittelyjen puolesta hyvä, mutta siinä mielessä huono, että en ehtinyt siistiä sitä.

Niin tai näin, gradun aiheen takia (Matematiikka ja opetussuunnitelmien laaja-alainen osaaminen), oli vain luontevaa pohtia tuota matematiikan yhteyttä muuhun osaamiseen. Linkki graduuni on tässä:

https://helda.helsinki.fi/handle/10138/322629

Oleellinen teksti tässä kohtaa alkaa sivulta 18 (luku 2.5) ja kyseinen luku on melko lyhyt. Se ei vastaa kysymykseen ”mitä matematiikka on?” mutta se avaa silmiä sille että tätä voidaan ajatella (ja ajatellaankin) eri tavoin.










Toinen aihe… sivusin toisessa ketjussa arvoitusta.

Baarissa jollakulla englantilaisella oli arvoitus kerrottavana. Siinä hän lainaa 50 euroa minulta ja 50 euroa toiselta, ostaa 97 eurolla tuotteen ja maksaa sitten euron molemmille velastaan takaisin. Sitten se arvoitus on että minne yksi euro katoaa, koska hän on velkaa 49+49 ja hänellä on euro.

Kuinka moni ymmärtää että tuossa on ajatusvirhe? Entä voisiko joku yrittää selittää mikä se on?

Minulla on yksi vastaus, mutta en kerro sitä vielä.

[Mänzy]

Velan ottaneella on lopussa 98 euroa velkaa, 97 euron tuote ja yksi euro rahaa. Tasan menee?

[Antti]

Rahaa saa häviämään vielä enemmän, jos lainaaja ostaakin vain 60 euron tuotteen ja maksaa takaisin 20 euroa molemmille. Eli velkaa 60 euroa ja hänellä ei yhtään euroa, mihin hävisi 40 euroa?

Toisessa vastaavassa arvoituksessa tilillä on 50 euroa, joista yhtenä päivänä nostetaan 20 euroa, joten tilille jää 30 euroa; toisena päivänä nostetaan 15 euroa, tilille jää 15 euroa; kolmantena päivänä 9 euroa, tilille jää 6 euroa; lopuksi nostetaan 6 euroa, ja tili on tyhjä. Mutta jos lasketaan yhteen tilille kunakin päivänä jääneet 30 euroa, 15 euroa, 6 euroa ja 0 euroa, saadaan 51 euroa. Mistä tuli ylimääräinen euro?

Tämäkin toimii vain siksi, että luvut sovitetaan niin, että lopputulos on tarpeeksi lähellä "odotettua" summaa.

[Lasse Candé]

Tässä lähdetään liikkeelle alkutilanteesta jossa meillä kahdella on rahaa ja edetään loppuun:

50+50 = 100 = 97+3 = 97+1+1+1.

Yhtälöt perustuvat rahavirtojen seuraamiseen. Tuossa on vielä jäljellä velan takaisinmaksu, jolloin taas velkaa saaneen pitää saada uutta rahaa. Nyt jos tuo 97 lasketaan mukaan, se pitää laskea myös kun velka on maksettu. Mutta tällöin tyypin on pitänyt saada muualta 97 euroa ja rahaa tai omaisuutta on:
(1+49)+(1+49)+0+97 = 197.

Ehkä kuitenkin kiinnostavin aspekti tässä kaikessa on ensimmäisen yhtälöketjun ensimmäisen ja viimeisen lausekkeen välinen yhtälö,
50+50 = 97+1+1+1.

Siinä kun euroja tulee takaisin.

Samaan aikaan ei oikein voi lähteä alkutilanteesta jossa satanen siirtyy ja ajatella että rahaa ollaan kuitenkin menetetty vain 49 euroa per nenä. Tässä ajattelussa ei pidä piitata minne ne eurot tulevat ja alkaa sekoittamaan, vaan pitää vain tietää että ne ovat jossakin. Tai jos siitä piittaa, pitääkin käyttää vähennyslaskua, koska virran suunta on toinen.

Tällöin oikea yhtälö on
(50-1)+(50-1) = 1+97.
Ja tuossa siis vasen puoli kattaa jo itsessään kaksi vaihetta, eikä tarina etene kronologisesti.

Mänzyllä on myös hyvä tapa tuossa laittaa lainaaja keskiöön. Hänellä on aina nollan euron omaisuus. Jos velkaa merkitään miinusmerkkisenä se on siis
-49-49+1+97 (=0).

Tarvitsee aina erityiset syyt että jonkin yhtälön pitäisi päteä. Jos joku hämmästelee, että miksei näin ole, voi listata useamman jotka pätevät ja kysyä että miksi myös esitetyn pitäisi päteä. Tässä kysymys siis olisi, että miksi kahden velan ja juuri velallisen yhden euron pitäisikään olla yhtä paljon kuin mitä hän on lainannut aluksi? Entä, miksi tässä ei hämmästellä sitä, että miksei tämä 99 euroa ole 98, kun nyt on maksettu eurot? Tai miksei huomioida meidän saamia euroja ja hämmästellä että velat + kolme euroa ei olekaan sata?

Ongelmahan tosiaankin on, ettei ole oikein järkeä laskea velkoja yhteen euron omaisuuden kanssa ilman merkkikorjauksia ja sitten vielä jättää huomioimatta hankittu laite. Mitäs jos sen summan olisi laittanut rahana sivuun?

Eli kysymys on, miltä pohjalta voi muodostaa matemaattiselta asultaan järkeviä yhtälöitä ja miksi.

[Mika]

Se ei ole kerran tai kaksi kun olen kuullut tällaisen keskustelun matematiikan opettamisesta.

[Mika]

Jos kyseessä on kompakysymys, siinä onkin oppilaille vähän enemmän pähkäiltävää. Poikkitieteellisyys on syvää.

Suuri osa tällaisista kuvista on tekaistuja, mutta hauskoja ja joskus jopa pohtimisen arvoisia ne ovat. Tässä tapauksessa tuo sinfonian soittamiseen mainittu aika on täysin pielessä.

[Antti]

Tuo on ihan tarkoituksellinen kompakysymys. Ohessa alkuperäisessä yhteydessään:



Tehtävänannon loppuosa tuntuu menevän kommentaattoreilta vähän ohi:

Beware there is one trick question!

[Lasse Candé]

Vastaava puhutti melko äskettäin (2019) lyhyen matematiikan yo-kokeessa:

https://yle.fi/a/3-10988228



Tuo sai osan opettajistakin raivostumaan ja puhutti melko paljon laajemminkin.

Tässä vielä toinen linkki:

https://www.iltalehti.fi/kotimaa/a/f8f2 ... 1733dcd1a8


Kyseinen tehtävä oli erinomainen esimerkki siitä, minkälaisesta aineesta (tai sen oppimäärästä) lyhyessä matematiikassa on kyse. Ja hyvä näin.

[Antti]

Kaikesta ihmiset jaksavat raivostua. Hauska myös tuo IL:n keskeiseksi ihmettelyn aiheeksi nostama asia: "oikeaan vastaukseen ei tarvitse laskutoimitusta". Eikös se ole ihan tavallista, että matematiikan yo-kokeessa on tehtäviä, joissa ei tarvitse suorittaa laskutoimituksia?